Фамилия Звертаев — редкая, и её происхождение неочевидно на первый взгляд. В ней нет суффикса -ов- в чистом виде, который обычно присоединяют к основе на твёрдый согласный. Здесь мы видим модель -аев, что указывает на основу, оканчивающуюся на -ай или -а: Звертай или Зверта.

Скорее всего, в основе лежит прозвище Звертай. В русских говорах «звертать» могло означать «сворачивать, поворачивать назад» (от «звернуть» — свернуть). Человек с таким прозвищем — тот, кто постоянно меняет решение, отступает, или, наоборот, ловкий, умеющий «свернуть» дело в нужную сторону. Вторая версия — искажённое «зверь» с суффиксом -тай, характерным для древнерусских имён (ср. Вострота, Долгота). Звертай — «похожий на зверя», сильный, диковатый. Но фонетически переход «зверь» в «зверт-» менее естественен, чем глагольное происхождение.

Формант -аев — южнорусский или украинский вариант фамильного суффикса. В центральных и северных областях России от прозвища Звертай образовали бы Звертаев, а в украинской среде — Звертаенко. Географически фамилия могла закрепиться в районах, где бытовал глагол «звертать» — в курских, воронежских, ростовских говорах, а также у казачества.

В документах фамилия не частотна, и известных носителей с громкой биографией нет. Это типичный случай, когда прозвище, данное одному человеку, закрепилось за его потомками и превратилось в фамилию. Никакого отношения к «зверю» в прямом смысле тут, скорее всего, нет — корень бытовой, глагольный, описывающий поведение или характер.