Фамилия Зверунов — один из тех случаев, когда прозвище, данное человеку, со временем закрепилось за его потомками без изменений. В её основе лежит древнерусское слово «зверун» — так в некоторых говорах называли злого, свирепого или жестокого человека. Не обязательно речь шла о реальной опасности: прозвище Зверун мог получить и тот, кто славился необузданным нравом, вспыльчивостью, или, наоборот, отпугивал внешностью — например, густой растительностью на лице, которую сравнивали со звериной шерстью. Встречалось и ироничное прозвище для охотника, который «зверует», то есть промышляет зверя.

Словообразовательная модель здесь проста и прозрачна: суффикс -ов указывает на принадлежность — «сын Зверуна». Это типичная патронимическая модель для русских фамилий, сформировавшаяся в XV–XVII веках в среде служилых людей и крестьянства. В отличие от фамилий на -ин (от основ на -а/-я), фамилия Зверунов образована от основы на твёрдый согласный, что характерно для прозвищ мужского рода. Любопытно, что в некоторых регионах фиксировалась параллельная форма Зверев — от более распространённого прозвища Зверь, но Зверунов сохранила более редкий, «усилительный» суффикс -ун, который в русском языке часто придаёт слову оттенок постоянного действия или свойства (ср. «ворчун», «молчун»).

Географически фамилия Зверунов не привязана к одной местности, но чаще встречается в южнорусских и центральных областях — на территориях бывшего Рязанского и Тамбовского княжеств, где слово «зверун» бытовало в местных говорах. В дореволюционных метрических книгах она фиксируется в основном среди крестьян и мещан. Дворянских родов с такой фамилией не обнаружено, что подтверждает её народное, прозвищное происхождение.

Споров о корне фамилии почти не возникает. Версия о связи с иноязычным «зверь» (например, из тюркских языков) несостоятельна — корень здесь общеславянский, древнерусский «звѣрь», от которого образованы десятки фамилий. Единственная альтернативная гипотеза — связь с церковным именем Зверь (такое встречалось в святцах как перевод греческого имени Терион), но она маловероятна: имя не было распространено, а прозвищная версия объясняет фамилию проще и логичнее.