Фамилия Абашкина, скорее всего, ведет родословную от имени Абашка. В основе лежит крестильное имя Аввакум, которое в народной, просторечной среде превратилось в Абашку. Само имя Аввакум имеет древнееврейские корни и означает «обнимающий». Получается, что фамилия Абашкина — это ответ на вопрос «чей?»: потомок того самого Абашки.

Однако есть и другая, не менее правдоподобная версия. Имя Абашка могло быть одной из форм тюркского имени Абаш. В тюркских языках слово «аба» означает «отец», «дед» или «старший родственник», так что такое имя могло быть ласковым или уважительным прозвищем для старшего в роду. В этом случае фамилия Абашкина имеет не церковное, а бытовое, восточное происхождение.

Интересна и словообразовательная модель. Фамилия заканчивается на -ина, что указывает на принадлежность к женской линии (жена или дочь Абашки). Мужской вариант — Абашкин. Суффикс -ин в русских фамилиях типичен для основ, оканчивающихся на -а или -я, и он древнее и «домашнее» популярного суффикса -ов. Это говорит о том, что фамилия могла сложиться в крестьянской или посадской среде, где именование по отцу было коротким и прямым: Абашка → Абашкин сын → Абашкин.

Таким образом, у вашей фамилии два равноправных корня — библейский и тюркский. В любом случае, Абашка — это прозвище или уменьшительное имя, которое носил далекий предок, а со временем оно закрепилось как фамилия.