Фамилия Абязова — женская форма фамилии Абязов. В русской традиции фамилии на -ов/-ев образуются от отчества или прозвища отца, а окончание -а указывает на принадлежность женщине. Основа здесь — Абяз.

Самый вероятный источник — тюркское мужское имя Абяз, которое восходит к арабскому «хафиз» — хранитель, знаток Корана. В татарской и башкирской среде имя Абяз (или Абьяз) давали мальчикам, которых видели будущими религиозными деятелями или просто грамотными людьми, знающими священные тексты. Фамилия Абязов, а следовательно и Абязова, могла закрепиться за потомками такого человека.

Встречается и версия, что в основе лежит прозвище Абяз от диалектного глагола со значением «говорить складно, красноречиво». Но она менее распространена: ономасты (например, в работах по татарской антропонимике) чаще связывают фамилию именно с именем, а не с прозвищем.

Географически фамилия Абязова типична для Поволжья и Приуралья — Татарстана, Башкортостана, Оренбургской области. Встречается и у русских, но как наследие от смешанных браков или результат русификации тюркских фамилий в XIX–XX веках. Ударение в фамилии плавающее: в разных семьях произносят и Абя́зова, и Абязо́ва, хотя литературная норма склоняется к ударению на второй слог — Абя́зова.

Суффикс -ов указывает, что фамилия оформилась уже в русской среде, когда к тюркскому имени добавили стандартный русский патронимический формант. Это отличает её, скажем, от фамилий на -ин, которые в тех же краях могли образовываться от основ на -а/-я. У Абязова основа заканчивается на согласный, поэтому -ов, а не -ин.