Фамилия Агаки — редкий случай, когда её происхождение почти наверняка не русское. Если вы её носитель, скорее всего, ваши предки приехали в Россию из Закавказья или Ближнего Востока, а сама фамилия восходит к тюркскому или персидскому миру.

Словообразовательная модель здесь не славянская: нет суффиксов -ов, -ин или -ский. Фамилия Агаки — это застывшая форма имени или прозвища. Скорее всего, в её основе лежит тюркское слово «ага» (старший брат, господин, начальник) с добавлением персидского суффикса принадлежности «-ки», который в тюркских языках может означать «относящийся к» или «сын». Таким образом, Агаки можно перевести как «принадлежащий аге», «сын аги» или просто «ага». Встречается и другая версия: от азербайджанского или турецкого личного имени Агаки, которое означает «господин» или «владыка».

Географически фамилия Агаки наиболее распространена среди народов Кавказа, особенно в Азербайджане и Дагестане, а также встречается у турок и крымских татар. В России она редкая и обычно указывает на недавнюю миграцию предков из этих регионов. В дореволюционных русских документах её могли записать на слух как «Агакиев» или «Агакин», но сама форма без суффикса сохранилась именно у тех семей, кто не перешёл на русскую модель фамилий.

Социальный контекст прост: предки носителя фамилии, вероятно, были связаны с военной или административной верхушкой, либо просто носили уважительное прозвище. Никаких сложных этимологических споров здесь нет — корень ясен, а альтернативные версии (например, от греческого «агапэ» — любовь) маловероятны, поскольку не объясняют ни суффикса, ни ареала бытования.