Фамилия Агарков — это не самостоятельная фамилия, а фонетический вариант фамилии Огарков. Разница между ними чисто произносительная: в южнорусских и среднерусских «акающих» говорах безударное «о» перешло в «а», и Огарков стали записывать как Агарков. Так что оба варианта — однокоренные, и корень у них один: огарок.

Слово «огарок» в старину имело несколько значений. Самое прямое — остаток догоревшей свечи, но в переносном смысле так называли погорельца, человека, потерявшего дом в огне. Другое значение — смуглый, черноволосый мужчина, будто «опаленный» солнцем или природой. Встречалось и уничижительное употребление: ничтожный, невзрачный человек, «огарок» в смысле «недомерок». Какое из этих значений легло в основу конкретного прозвища, теперь сказать трудно — каждое правдоподобно по-своему.

Есть и третья, менее очевидная версия. Огарок может быть производным от названия птицы огарь (красная утка). Прозвища по названиям птиц были на Руси чрезвычайно популярны в дохристианскую эпоху, их давали как мирские имена, чтобы «задобрить» природу или перенять свойства животного. Если так, то в основе фамилии лежит не прозвище, а древнее личное имя Агарок (или Огарок), которое со временем закрепилось за родом.

Отдельно стоит упомянуть родословную легенду Огарковых. Согласно ей, родоначальником был Лев Огарь, выходец из Золотой Орды, поступивший на службу к великому князю Василию Дмитриевичу в 1397 году. Если эта версия верна, то Агарковы и Огарковы имеют общее происхождение от татарского переселенца, а прозвище или имя было дано уже на русской почве.

Итог простой: фамилия Агарков — это та же Огарков, только записанная на слух в акающей местности. Что именно означало слово «огарок» для первого носителя — «погорелец», «смуглый», «невзрачный» или «утка», — доподлинно неизвестно, но все эти значения имеют равное право на существование.