Фамилия Агаркины — один из тех случаев, когда написание говорит о географии предков больше, чем корень. Это фонетический вариант фамилии Огаркины, возникший в «акающих» говорах: там, где произносили «агарок» вместо «огарок», со временем закрепилась и соответствующая буква в документах. Так что обе фамилии — звенья одной цепи, разошедшиеся из-за диалекта.

Основа фамилии — прозвище Огарок (или Агарок). В русских говорах так называли не только остаток свечи, но и человека: низкорослого, худого, либо того, кто «догорает» на работе — много и тяжело трудится. Есть и другая, более книжная версия: Огаркины выводят свой род от Льва Огаря, выходца из Золотой Орды, который в 1397 году перешёл на службу к великому князю Василию Дмитриевичу. В этом случае прозвище могло быть связано с тюркским словом, а не с русским «огарок». Обе гипотезы имеют право на существование, но бытовая, от прозвища, встречается чаще и проще объясняет массовость фамилии.

В любом случае, суффикс -ин указывает на принадлежность: Агаркин — это «чей?» — сын или потомок Агарка. Такая модель типична для русских фамилий, образованных от прозвищ и имён, оканчивающихся на -а, -я.

Фамилия Агаркины — живой памятник не столько письменности, сколько народной речи: она сохранила в себе тот самый акающий выговор, который до сих пор слышен в Рязанской, Тамбовской, Воронежской областях. Если ваши предки носили эту фамилию, велика вероятность, что их корни — именно в этих краях, где «а» победило «о» ещё несколько веков назад.