Фамилия Ахремень — один из тех случаев, когда внешне славянская форма скрывает западное, скорее всего белорусское или украинское, происхождение. Корень здесь не «ах», а «ахрем», что является народной формой канонического имени Ефрем (от древнееврейского «эфраим» — «плодовитый»). В славянских говорах начальное «е» нередко переходило в «а» под влиянием аканья, а «ф» заменялось на «х» — так и появилось имя Охрем или Ахрем. Суффикс «-ень» в фамилиях восточных славян обычно указывает на уменьшительно-ласкательную форму: Ахремень — это, по сути, «маленький Ахрем», то есть сын или потомок человека по имени Ахрем (Ефрем).

Интересно, что модель образования без патронимического суффикса (-ович, -ов) характерна для западнорусских земель, особенно для территории современной Беларуси и Украины. Там фамилии на «-ень» встречаются чаще, чем в великорусских областях, где преобладали формы на «-ов» и «-ин». Таким образом, носитель фамилии Ахремень, скорее всего, происходит из семьи, где предка звали просто Ахрем, а его дети и внуки закрепили это прозвище как родовое имя. Никакого отношения к «аху» или «ременю» фамилия не имеет — это чисто фонетическое совпадение.

В письменных источниках фамилия встречается нечасто, что говорит о её локальном распространении. Основной ареал — юго-запад России, Беларусь и, возможно, восточные области Украины. Встречаются варианты написания: Ахримень, Охремень, но они редки. Сословной принадлежности предков по самой фамилии не определить: имя Ефрем было распространено и среди крестьян, и среди духовенства, и среди мещан. Если ваш предок был Ахремень, то его пращуром был человек, которого в обиходе звали ласково Ахремом — и это всё, что можно сказать с уверенностью.