Фамилия Акимышева — женская форма от Акимышев, и её разбор стоит начать с неочевидного на первый взгляд суффикса. В русских фамилиях часто встречаются -ов, -ев и -ин, а здесь мы видим -ышев. Этот суффикс — уменьшительно-уничижительный или просто уменьшительный, характерный для северных и северо-восточных говоров (архангельские, вологодские, вятские земли). В основе лежит имя Акимыш — производная форма от канонического имени Иоаким (в народном произношении Аким). Суффикс -ыш придавал имени оттенок ласкательности или, наоборот, пренебрежения в зависимости от контекста: Акимыш — буквально «маленький Аким» или «Акимка».

Таким образом, Акимышев — это отчество-прозвище: «чей-то сын Акимыша». Первым носителем фамилии был человек, которого в быту звали Акимышем, а его дети уже записывались как Акимышевы. Фамилия не дворянская и не купеческая по происхождению — она крестьянская или посадская, типичная для русского Севера и Приуралья. В переписных книгах XVII–XVIII веков такие фамилии на -ышев встречаются именно в тех регионах, где была распространена «окающая» речь и уменьшительные формы на -ыш (Иваныш, Петруш, Вавилыш).

Стоит отметить, что написание Акимышева не имеет вариантов через «о» (Окимышева) — это указывает на устойчивость основы. В отличие от фамилий типа Акимов, которые могли возникнуть в любом регионе России, Акимышев географически привязан к северным уездам. Если ваши предки носили эту фамилию, велика вероятность, что они происходят из Вятской, Пермской или Архангельской губерний. Родственных фамилий по той же модели — Ерёмышев, Фоминышев, Кузьмышев — сохранилось мало, что делает Акимышева редкой и локальной.