Фамилия Акказина — женская форма, но её разумнее рассматривать через мужской вариант Акказин, который и лёг в основу. Сразу бросается в глаза суффикс -ин: в русской ономастике он указывает на принадлежность к отцу или главе семьи. То есть Акказины — это буквально «дети Акказы». Но что такое «Акказа»?

Самая вероятная версия — тюркское происхождение. В тюркских языках (татарском, башкирском, казахском) слово «ак» означает «белый», «чистый», «светлый», а «каз» — «гусь». Получается прозвище Акказ — «белый гусь». В кочевой и полукочевой культуре гусь был не просто птицей, а символом удали, красоты или хозяйственности. Прозвище могли дать человеку со светлыми волосами, либо тому, кто держал много гусей, либо с лёгкой, «гусиной» походкой. Фонетика не противоречит: в татарском и башкирском ударение падает на последний слог — Акка́з, что при русификации дало Акка́зин.

Есть и менее очевидная версия — от арабского имени Аккас (عكاس), что значит «фотограф» или «отражающий». Но она слабее: имя Аккас крайне редко встречается в быту, и переход его в фамилию через форму Акказин маловероятен без промежуточного прозвища. К тому же суффикс -ин в таком случае указывал бы на «сына Аккаса», но тогда фамилия скорее писалась бы как Аккасов. То есть словообразовательная модель здесь работает против арабской гипотезы: суффикс -ин крепится к основе, оканчивающейся на гласный или мягкий согласный, а Аккас твёрдый и потребовал бы -ов.

Географически фамилия Акказина тяготеет к Поволжью и Приуралью — регионам, где веками жили татары и башкиры, а затем фамилию могли перенять русские крестьяне, смешавшиеся с местным населением. Сословно это, скорее всего, крестьянская или мещанская фамилия: дворянские роды с таким окончанием оформлялись иначе (через -ский или -ев). В метрических книгах XIX века Акказины встречаются в Оренбургской и Уфимской губерниях. Если заглянуть в ревизские сказки тех мест, можно заметить, что фамилия нередко записана через одно «к» — Аказин, что ещё больше сближает её с тюркским произношением, где первый звук «ак» произносится кратко.

Любопытная деталь: ударение в современной фамилии плавает. Одни произносят Акка́зина (с ударением на второй слог — по тюркской инерции), другие Аккази́на (с ударением на третий — под влиянием русских фамилий типа Кузьмина). Оба варианта допустимы, но первый исторически точнее. Впрочем, в самой тюркской среде ударение могло сместиться на первый слог — А́кказин, если прозвище осмыслялось как сложное слово с сильным начальным компонентом.

Итог: носительница фамилии Акказина с большой вероятностью потомок человека по прозвищу Белый Гусь — светлого, заметного или птицевода из тюркской среды. Фамилия редкая, но прозрачная для этимолога.