Фамилия Аксьонов — яркий пример того, как написание может рассказать о говоре больше, чем о корне. В русском языке она звучит как Аксе́нов, но пишется через мягкий знак — Аксьо́нов. Это не ошибка и не редкость, а прямое отражение южнорусской и украинской манеры смягчать согласный перед «ё». В XIX веке чиновники нередко закрепляли в документах живую речь, поэтому такая форма и осталась в паспортах.

Основа фамилии — каноническое мужское имя Авксентий (от греческого «растущий, увеличивающийся»). В народе его сократили до простого и звонкого Аксён, а суффикс -ов добавил значение принадлежности: «сын Аксёна». Модель образования здесь от твёрдой основы (Аксён-), поэтому фамилия пишется через -ов, а не через -ин (как было бы, если бы исходная форма звучала как Аксёня).

Интересно, что в украинском языке фамилию чаще записывают как Аксюнов или Аксенов, но форма Аксьонов встречается и там, особенно на Левобережье. В русских переписях она фиксировалась в Курской, Воронежской и Тамбовской губерниях — как раз в зоне переходных говоров, где «ё» после мягкого согласного произносили отчётливо. В северных и центральных регионах России преобладало написание Аксенов (через «е»), поэтому Аксьонов — маркер определённой диалектной среды.

Сословного барьера у фамилии не было: Аксёнами называли и крестьян, и мещан, и даже священников (имя Авксентий числится в православных святцах). Если ваши предки носили фамилию Аксьонов, они, скорее всего, происходили из чернозёмной полосы России или с Украины, где имя Аксён было особенно ходовым. Никакой связи с рыбой аксьон (такого слова в русском языке нет) или с французским action — это чисто народная этимология, не имеющая под собой оснований.

В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» форма Аксьонов не выделяется отдельно, но упоминается в ряду производных от Авксентий наряду с Аксёновым и Аксеновым. Это ещё раз подтверждает: разница только в записи, а корень один.