Фамилия Акун — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. В ней нет привычного русского суффикса -ов или -ин, что сразу наводит на мысль: перед нами не типичная крестьянская или дворянская фамилия центральной России, а скорее позднее, искусственное образование или фамилия, пришедшая из другого языка.

Самый прямой путь — разобрать основу. Акун может быть усечённой формой крестильного имени Акиндин или Акундин. В народной речи такие имена часто «съеживались»: Акиндин превращался в Акун, а суффикс фамилии здесь нулевой — то есть фамилия совпала с обиходной формой имени. По этой модели образованы, например, фамилии Макар (от Макарий) или Наум. Если так, предок носителя фамилии Акун — человек по имени Акун, то есть Акиндин.

Есть и вторая версия, менее распространённая, но лингвистически возможная. В некоторых говорах «акун» — искажённое «окунь», рыба. Прозвище Акун могли дать рыбаку или человеку с «рыбьей» внешностью (например, с большими глазами). Однако эта версия слабее: слово «окунь» редко теряло начальное о- в фамилиях, и для прозвищного происхождения фамилии обычно характерны суффиксы -ев или -ов (Окунев). Фамилия Акун без суффикса — скорее исключение.

Третья версия — иноязычное происхождение. Фамилия Акун встречается у народов Кавказа (например, у абхазов или адыгов, где «акун» может означать что-то вроде «золотой» или быть частью родового имени), а также у тюркских народов. В таком случае это не русская фамилия в строгом смысле, а фамилия, закрепившаяся в русском языке в процессе межэтнических контактов.

Географически фамилия Акун не привязана к какому-то одному региону России — она встречается точечно, чаще в южных областях и на Северном Кавказе. В дореволюционных переписях она почти не фиксируется, что говорит о её позднем письменном закреплении.

Таким образом, наиболее вероятное объяснение для русскоязычного носителя: фамилия образована от обиходной формы имени Акиндин, без добавочного суффикса. Если же семейное предание указывает на южные корни, стоит проверить местные диалекты или языки соседних народов — там может скрываться совсем другое значение.