Фамилия Акунеев — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Чаще всего её связывают с крестильным именем Акундин (греч. «безопасный»). От него образовалась народная, разговорная форма Акуней — так в быту могли называть человека, носившего полное церковное имя. По этой версии, предок Акунеевых был, скорее всего, выходцем из рабочей или крестьянской среды: сложные церковные имена в простонародье часто урезали и переделывали на свой лад.

Но есть и другая, не менее правдоподобная гипотеза. Фамилия Акунеев могла возникнуть как фонетический вариант фамилии Окунев под влиянием «акающих» говоров. В тех областях, где безударное «о» произносили как «а», Окунев легко превращался в Акунеева. Если это так, то в основе лежит не церковное имя, а древнерусское нецерковное прозвище Окунь. До христианства называть детей в честь рыб, зверей или растений было обычным делом — считалось, что так ребёнок получал защиту природы и перенимал её свойства. Родители, называя сына Окунем, желали ему, например, ловкости или цепкости.

Суффикс -еев в фамилии указывает на притяжательную модель: Акунеев — значит «сын Акунея» (или «сын Акуня»). Это типичная русская патронимическая фамилия, которая закрепилась за потомками в XV–XVII веках. Какая из двух версий точнее, сказать сложно: обе имеют право на существование, и без точных записей по конкретному роду выбор остаётся за самим носителем фамилии.