Фамилия Акуньшина — женская форма, образованная от мужской Акуньшин. Модель простая и типичная для русского севера и северо-запада: суффикс -ин отвечает на вопрос «чей?», то есть указывает на прямого предка по мужской линии. Основа — прозвище или нецерковное имя Акуньша. Чтобы разобраться в его происхождении, достаточно вспомнить, как называли рыбу в старых русских говорах.

Корень «акун-» — это диалектный вариант слова «окунь». В северных и центральных областях (новгородских, псковских, владимирских) безударное «о» часто заменяли на «а» — то самое аканье, которое мы слышим в московском произношении. Так Акуньша — это всё равно что Окуньша, уменьшительно-ласкательная форма от «окунь». Прозвище Окунь (или Окунек) в крестьянской среде давали по внешности — человеку с большими выпуклыми глазами, по характеру — колючему, неуживчивому, или по занятию — рыбаку, который промышлял именно эту рыбу. Суффикс -ш- в имени Акуньша — характерный для северо-западных земель уменьшительный (сравните: Иван — Иваньша, Григорий — Гриньша). Значит, предок был не просто «Окунь», а «маленький Окунь» — либо младший в семье, либо невысокий ростом.

Существует и более редкая версия: Акуньша могло быть производным от крестильного имени Акинф (греческое «гиацинт»). В народе Акинф превращался в Акунфу и Акуньшу — так же, как Евфимий становился Ефимом, а Иоанн — Иваном. Но эта гипотеза слабее: переход «ф» в «ш» в русских говорах нетипичен, а вот окунь — самая что ни на есть бытовая реалия, дававшая десятки прозвищ. Ономасиологи обычно отдают предпочтение более прозрачной и бытовой версии, и здесь она убедительнее.

Фамилия редкая, сконцентрирована в бассейне Волги и на северо-западе России. Встречается в Тверской, Ярославской, Костромской областях — на землях, где аканье было нормой и где окуни всегда водились в изобилии. Сословно предки, скорее всего, были крестьянами или рыбаками: прозвища по рыбе и ремеслу давали именно в простонародье. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано, так что искать в гербовниках бесполезно — это фамилия из обихода, а не из канцелярии.