Фамилия Алапий — редкий случай в русском ономастиконе. В ней нет привычных суффиксов -ов, -ин или -ский, которые превращают прозвище в фамилию. Перед нами чистая основа, застывшая в именительном падеже. Такие фамилии в русской традиции — скорее исключение, они характерны для украинской, белорусской или польской среды, где могли оформляться без дополнительных формантов. В России же подобные «голые» фамилии иногда встречались у выходцев из духовенства, а также у переселенцев с запада.

Само слово «Алапий» имеет несколько возможных корней. Первый и самый очевидный — календарное имя Алапий (Алапа, Алап). В святцах есть мученик Алапий, день памяти которого приходится на 10 декабря (по старому стилю). Это имя греческого происхождения, от «алапс» — «безродный», «сирота». В крестьянской среде такие имена давали по святцам, и в быту они могли стать прозвищем, а затем и фамилией для всей семьи.

Вторая версия — тюркская. В языках Поволжья и Сибири «алап» или «алапый» могло означать «пёстрый», «рябой», «пятнистый». Это прозвище по внешнему признаку — например, человек с веснушками или со шрамом. Учитывая, что фамилии с «голой» основой нередко возникали на окраинах Русского государства, где плотно контактировали с татарами и башкирами, тюркский след вполне реален. Но здесь важно не переоценивать: прямых письменных подтверждений для фамилии Алапий в этом значении нет.

Третья, менее вероятная гипотеза — связь с диалектным глаголом «алапить» (мешать, путать, делать кое-как). В некоторых говорах так говорили о нерадивом работнике. Однако это слово редкое, и фамилия от него могла бы звучать как Алапин или Алапов, а не Алапий.

Что в итоге? Перед нами фамилия, которая, скорее всего, восходит к крестильному имени Алапий. Её носители — потомки человека, которого в документах записали просто по имени, без отчества или суффикса. Такое оформление встречается в старых переписных книгах XVII века, особенно у однодворцев и казаков. Если ваши предки носили фамилию Алапий, ищите их корни в южнорусских или западнорусских губерниях — там подобные бессуффиксные фамилии встречались чаще.