Фамилия Альгожин — редкий случай, где основа почти наверняка не славянская, а тюркская. Разобрать её стоит не с корня, а с суффикса, потому что он сразу даёт ключ к пониманию. Модель образования простая: корень Альгож- плюс русский патронимический суффикс -ин, который указывает на принадлежность («чей?»). Значит, предка звали Альгожей. Суффикс -ин здесь работает по тому же принципу, что и в фамилиях Пушкин (от Пушка) или Ильин (от Илья): основа на -а/-я даёт -ин, а не -ов. Поэтому Альгожин, а не Альгожов. Это косвенно подтверждает, что исходное прозвище или имя Альгожа было в ходу у русскоязычного населения, а не осталось чисто тюркским.

Что такое Альгожа? Самая вероятная версия — это адаптация тюркского личного имени или прозвища. В казахском, татарском и башкирском языках есть основа «алғыс» (алгыш) — «благодарность», «хвала», «благословение». Имя Алгыш (или Алгожа) могло означать «благословенный», «тот, кого хвалят». Вторая версия, менее вероятная, но возможная: сложение из двух частей: «ал» (алый, красный, либо «брать») и «гожа» (от арабского «ходжа» — господин, хозяин, наставник). Тогда Альгожа — «красный хозяин» или «берущий господин», что звучит как прозвище, а не имя. Спорных версий немного: пытаться вывести фамилию от греческого «алгос» (боль) или русского «аль» (в значении «ли») — натяжка, не выдерживающая критики. Тюркское происхождение здесь самое прямое и логичное.

Географически фамилия тяготеет к южным регионам России и Поволжью, где веками жили вперемешку русские и тюркские народы. Встречается в Астраханской, Оренбургской областях, в Татарстане и Казахстане. Носители могли быть потомками крещёных татар, башкир или казахов, которые получили фамилию по имени отца при переходе в православие или при записи в ревизские сказки. Однокоренных фамилий в русском языке практически нет. Можно встретить Алгазин, Алгашев, Алгаев — они тоже восходят к тюркским именам с корнем «ал-» (брать, хвала). Но Альгожин стоит особняком из-за редкой второй части.

Если коротко: предки современного Альгожина, скорее всего, жили на стыке культур, и их фамилия хранит память о тюркском имени с добрым значением — «благословенный» или «хвалимый».