Фамилия Анасовская — одна из тех, что прямо ведут к месту, где жили предки. Её основа — топоним Анасово или Анасова, а суффикс -ск- работает как указатель: «та, что из Анасова». Такая модель типична для фамилий, образованных от названий сёл и деревень, и в XIX веке её активно использовали при переписях для крестьян и мещан, приписанных к конкретному населённому пункту. Так что дворянское или шляхетское происхождение здесь совсем не обязательно, хотя суффикс -ск- в русских фамилиях часто ассоциируется с этими сословиями.

Сам топоним Анасово встречается в нескольких регионах, но наиболее вероятные точки отсчёта — деревни в Башкортостане или бывшей Пермской губернии. Корень названия, скорее всего, восходит к тюркскому имени Анас (у башкир и татар оно означает «друг, близкий»). Если предки жили в башкирском или татарском селе, это объясняет и происхождение корня, и то, что фамилия закрепилась в русской форме с суффиксом -ск-. Ударение обычно падает на второй слог — Анáсовская, что тоже указывает на исходное название деревни.

Версия, что фамилия произошла напрямую от личного имени Анас (без топонимической привязки), маловероятна. Такая модель дала бы форму Анасов, а не Анасовская. Суффикс -ск- в данном случае — не признак принадлежности человеку, а признак географической связи.

Сословная принадлежность у фамилии не фиксированная: среди носителей могли быть и государственные крестьяне, и однодворцы, и обедневшие дворяне — точнее сказать невозможно без генеалогического поиска по конкретной семье. Но главное, что фамилия Анасовская не выдумана в канцелярии, а выросла из реального места, где жили предки.