Фамилия Анасовский — редкий пример, где сложности возникают уже на уровне основы. Первое, что бросается в глаза: суффикс -ский, типичный для польской, украинской, белорусской и дворянской русской ономастики, и корень Анас-, который не укладывается в привычный ряд крестильных имён. Самый прямой путь — связать фамилию с топонимом: в Польше есть деревня Анасово (Anasowo) или похожие названия вроде Анасин. Фамилия могла означать «тот, кто из Анасова» — типичная модель для шляхетских и крестьянских фамилий, образованных от названия поместья или села.

Второй вариант, не менее правдоподобный, — от личного имени. В православных святцах нет имени Анас, но в тюркских языках «анас» означает «беспокойный», «непоседливый» или же восходит к арабскому Анас (друг, товарищ). Это имя встречается у татар и башкир, и если предок носителя фамилии был крещёным татарином или выходцем из тюркской среды, то Анас могло стать прозвищем или неканоническим именем. Суффикс -ский в таком случае мог появиться позже, при русификации или переходе в дворянское сословие, когда фамилии «подтягивали» под стандарт.

Третья, более экзотическая гипотеза — от греческого «анастас» (воскресший) через усечение. Форма Анасовский могла возникнуть из Анастасовский в результате стяжения, особенно в южнорусских или украинских говорах, где безударные гласные редуцируются. Однако такая версия слабее: в документах и переписях XVIII–XIX веков фамилия Анасовский фиксируется в основном в западных губерниях — Могилёвской, Витебской, Волынской, где топонимический след перевешивает.

Географически фамилия остаётся локальной: по данным переписей конца XIX века, больше всего Анасовских было в Гродненской губернии и в Царстве Польском. Это подтверждает версию о польском или западнорусском происхождении. Сословно — чаще мещане и крестьяне, реже мелкая шляхта. В дворянских родословных книгах фамилия не значится, что исключает её массовое облагораживание.

Итог: скорее всего, Анасовский — это «географическая» фамилия, указывающая на происхождение из населённого пункта с корнем Анас-. Если же предки были выходцами из татарской среды, то имя-основа могло быть тюркским. В любом случае, суффикс -ский говорит о том, что фамилия оформилась в регионе, где польская или украинская модель фамилеобразования была нормой.