Фамилия Анасюк — одна из тех, где географию происхождения можно прочитать прямо в окончании. Суффикс -юк — верный признак западноукраинской или белорусской модели: такие фамилии массово формировались на Волыни, в Подолье и на Гродненщине. Этот суффикс отвечал на вопрос «чей?» и означал сына или потомка человека, названного в корне. Корень здесь — Анас.

Скорее всего, Анас — это обиходная, сокращённая форма крестильного имени Ананий. В быту полные имена часто укорачивали: Ананий превращался в Анаса, Анася, Анашку. Имя Ананий древнееврейское, в переводе — «благодать Божия» или «Бог милостив». У славян оно было распространено среди духовенства и мещан, но встречалось и у крестьян. Получается, Анасюк — буквально «потомок Анаса», то есть человека, которого в семье или общине звали именно так.

Есть и другая версия, но она слабее. В некоторых говорах «анас» могло быть прозвищем упрямого, несговорчивого человека. Однако это значение крайне локальное и не имеет серьёзного подтверждения в ономастических источниках. Поэтому версия с именем остаётся основной.

Что интересно: фамилия почти не встречается в центральных и восточных областях России. Если ваши предки носили фамилию Анасюк, их корни, скорее всего, на западе Украины или юго-западе Беларуси. По сословию — суффикс -юк не даёт точной привязки, но такие фамилии чаще встречались у сельского населения, крестьян и казаков, реже — у мещан.