Фамилия Анастасов образована от мужского крестильного имени Анастасий, а точнее — от его разговорной, усечённой формы Анастас. Полное имя Анастасий пришло из греческого языка и означает «воскресший» (от греческого anastasis — воскресение). В русской традиции церковное имя часто сокращали в быту, отбрасывая окончание -ий, так и появилось простое и звучное Анастас. Потомка такого человека и стали называть Анастасовым — буквально «сын Анастаса».

Суффикс -ов указывает на классическую русскую модель отчества-фамилии, которая закрепилась в XV–XVII веках сначала у знати, а затем и у всех сословий. В данном случае фамилия отвечает на вопрос «чей?»: чей сын? — Анастасов.

Существует и вторая версия происхождения, хоть и менее распространённая. Некоторые исследователи допускают, что в основе фамилии могло лежать женское имя Анастасия, от которого образовали прозвище или отчество через мужскую форму. Однако с точки зрения словообразования это менее вероятно: фамилии на -ов обычно образуются от мужских имён, тогда как от женских имён чаще возникают фамилии на -ин (например, Марьин, Татьянин). Поэтому версия с мужским именем Анастас остаётся основной.

Фамилия Анастасов — редкая, не входит в число массовых русских фамилий, что говорит о её локальном бытовании или о происхождении из среды духовенства, где греческие имена были особенно популярны. В церковной среде имя Анастасий давали в честь святого Анастасия Синаита или великомученика Анастасия Персянина, поэтому носители фамилии могли быть потомками священнослужителей. Встречается фамилия и у болгар, сербов и греков, где суффикс -ов также типичен для отчеств, что указывает на возможные балканские корни некоторых ветвей рода.