Фамилия Андронакий — редкий случай, когда в основе лежит не крестильное имя, а его греческая форма, да ещё и с необычным суффиксальным оформлением. Разберём её по косточкам.

Корень — греческое имя Андроник (Ανδρόνικος), что значит «победитель мужей» (от «андрос» — мужчина, человек и «нике» — победа). В православных святцах это имя встречается не раз, так что у предка-носителя мог быть небесный покровитель. Но фамилия образована не от канонического Андроник, а от его разговорной производной формы — Андронака или Андронакий. Такое окончание на «-ий» характерно для украинской, белорусской и южнорусской традиции, где фамилии часто создавали от усечённых или ласкательных вариантов имён: Андронакий — буквально «сын Андронаки» или «принадлежащий Андронаке».

Суффикс «-ий» здесь выступает в роли притяжательного падежа, как в фамилиях Шевченко (от Шевченя) или Тимошенко. То есть Андронакий — это не просто «потомок Андроника», а потомок человека, которого в быту звали Андронака (с уменьшительным или пренебрежительным оттенком). В документах XVII–XVIII веков на территории Гетманщины и Слобожанщины такие формы фиксируются у казаков и мещан: например, в реестрах Черниговского полка встречается Андронака, а в переписях Харьковской губернии — уже Андронакий.

Географически фамилия тяготеет к западным и центральным областям Украины, а также к югу России, куда переселялись малороссы. В современной России она встречается единично, чаще в виде Андронаков или Андронак — с более привычным суффиксом «-ов». Вариант Андронакий сохранил архаичную форму, не перешедшую в массовое склонение по падежам, что делает его ценным для историков языка.

Спорных версий здесь немного: иногда фамилию ошибочно связывают с румынским или молдавским именем Андронаке (там тоже есть такое), но в русскоязычной среде это всё же калька с греческого через украинское посредничество. Социальный контекст — скорее всего, предки были не знатного рода, а из казачьей старшины или зажиточных крестьян, поскольку фамилии на «-ий» в этой среде были распространены, но не у крепостных.