Фамилия Андрускив звучит как типичная украинская фамилия, и это действительно так. Её выдает суффикс -ив, который в украинском языке соответствует русскому -ов. Если бы носителя фамилии записывали в российских документах XIX века, скорее всего, вышло бы «Андрусков» или «Андруськов». Но история распорядилась иначе, и мы имеем дело с украинской моделью фамилии, распространенной в западных областях — на Львовщине, Тернопольщине, Ивано-Франковщине.

В основе фамилии лежит имя Андрусь. Это народная, уменьшительная форма канонического имени Андрей (от греческого «андрос» — мужчина, мужественный). В украинском языке такие формы на -усь (Андрусь, Петрусь, Павлусь) были очень популярны. К основе Андрусь добавили патронимический суффикс -ив, который буквально означает «чей?» — то есть Андрускив — это «сын Андруся», «принадлежащий Андрусю».

Фамилия могла возникнуть и от прозвища Андрусь, которое давали человеку не только по имени отца, но и по его собственному имени, если его звали именно так. В любом случае, социальный корень здесь один: предок носителя фамилии был простым человеком, крестьянином или мещанином, которого в быту звали уменьшительным именем. Дворянские фамилии в этой части Европы часто оканчивались на -ский, так что Андрускив — фамилия народная, демократичная.

Интересно, что в польском языке существует схожая фамилия Andruszkiewicz (Андрушкевич), образованная по другой модели. Андрускив же — чисто украинский вариант, который не перешел в польскую или русскую традицию. Встречается также вариант Андруськив, но он менее распространен. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они жили на территории Галиции или Волыни, где украинская ономастика сохранилась даже в эпоху Австро-Венгерской империи.