Фамилия Андрюшаев — редкий пример того, как личное имя может застыть в фамилии в своей самой «домашней» форме. В отличие от распространённых Андреевых или Андреяновых, эта фамилия образована не от полного церковного имени Андрей, а от его обиходного варианта Андрюша. Такое происхождение сразу многое говорит о среде, где фамилия возникла: её давали не по святцам, а по тому, как человека звали в быту.

Словообразовательная модель прозрачна: основа Андрюш- (уменьшительно-ласкательная форма от Андрей с суффиксом -ш-, как Гриша, Паша, Миша) плюс патронимический суффикс -ев. Выбор -ев, а не -ов, объясняется мягкостью конечного согласного «ш» — это чисто русская грамматическая норма, не свойственная украинской или белорусской традиции. Фамилия буквально означает «сын Андрюши».

Интересно, что в русской ономастике суффикс -ш- в именах мог нести не только уменьшительный, но и прозвищный оттенок. Не исключено, что в некоторых говорах Андрюшей называли не любого Андрея, а человека с определёнными чертами характера или внешности, но основная версия остаётся патронимической.

Сословно фамилия явно недворянская — в родословных книгах она не встречается. Скорее всего, первые носители были крестьянами, ремесленниками или однодворцами (особая категория служилых людей на южных рубежах России). Сама форма на -ев при имени на -ша характерна для северных и центральных губерний, где в документах часто записывали имя «на слух», не сверяясь с каноном.

Сейчас фамилия редкая, что делает её своеобразным локальным маркером. Если вы Андрюшаев, ваши предки, вероятно, происходят из одной местности, где это прозвище когда-то закрепилось. Поиск по метрическим книгам XIX века стоит начинать с Пензенской, Рязанской или Вологодской губерний — именно там архивные записи фиксируют единичные случаи бытования этой фамилии.