Фамилия Андрюшаев — довольно редкая, и её происхождение напрямую связано с личным именем Андрей, но не напрямую, а через уменьшительно-ласкательную форму. В русской ономастике это типичный пример «патронимической» фамилии, то есть образованной от имени отца.

Основой послужило имя Андрюша — одна из множества народных, обиходных форм канонического имени Андрей (от греческого «андрос» — муж, мужчина). Суффикс -ша в русских именах (как Гриша, Миша, Паша) часто придавал оттенок ласки или просто бытовой сокращённости. От этого имени-прозвища и пошла фамилия: чей сын? — Андрюшаев. Суффикс -ев (а не -ов) стоит после мягкого согласного «ш», что грамматически правильно и указывает на русскую, а не украинскую или белорусскую основу.

Интересная деталь: в отличие от массовых фамилий вроде Андреев или Андреянов, Андрюшаев образован от очень конкретной и интимной формы имени. Это говорит о том, что в быту предка звали именно Андрюшей, а не Андреем. Такая фамилия могла закрепиться в среде, где имя в документах записывали «на слух» — в крестьянской или мещанской среде, особенно в северных и центральных губерниях России, где любили такие «домашние» формы.

Вероятнее всего, первый носитель фамилии был сыном человека по имени Андрюша. Сословно это мог быть крестьянин, ремесленник или однодворец (жители южных окраин государства, занимавшие промежуточное положение между крестьянами и мелкопоместными дворянами). Дворянских родов с такой фамилией в истории не зафиксировано — это однозначно указывает на её простонародное, но оттого не менее древнее происхождение.

Сейчас фамилия встречается редко, что делает её интересным маркером: если вы Андрюшаев, то, скорее всего, ваши предки происходят из одной локальной группы, где это прозвище когда-то прижилось. Поиск по архивам лучше начинать с Пензенской, Рязанской или Вологодской губерний — именно там фиксируются единичные случаи бытования этой фамилии в метрических книгах XIX века.