Фамилия Ангели — редкий для России случай, когда фамилия не обрусела и сохранила иноязычное окончание. В русской среде фамилии на -ий, -ой, -ов встречаются на каждом шагу, а вот Ангели стоит особняком. Это не результат работы русского суффикса, а застывшая форма множественного числа или родительного падежа из другого языка.

Скорее всего, перед нами фамилия греческого или румынского происхождения. В греческом языке «ангели» (άγγελοι) — это множественное число от «ангелос» (ангел). Фамилия могла означать «ангелы» или «из рода Ангелов» — возможно, её дали в монашеской или церковной среде, либо она закрепилась за семьёй, где имя Ангел (распространённое у греков и южных славян) передавалось из поколения в поколение. В румынском языке «înger» (ангел) дало фамилию Înger, но форма Ангели могла возникнуть под влиянием греческого.

На территории бывшей Российской империи фамилия Ангели встречается в основном среди греков Приазовья и румын Бессарабии. В XIX веке греческие переселенцы из Крыма и Малой Азии оседали в Мариупольском уезде, и фамилия Ангели могла попасть в метрические книги именно оттуда. Также есть вероятность, что это фамилия-прозвище для человека с ангельским характером или внешностью, но в русском контексте такое прозвище скорее дало бы фамилию Ангелов или Ангельский.

Суффикс -и в конце не характерен для русской ономастики. Он указывает на то, что фамилия не прошла этап русификации через -ов или -ин. В польском и украинском языках окончание -ий встречается (Ангельский), но Ангели — это именно заимствование. Если у вас эта фамилия, ваши предки, вероятно, были греками, молдаванами или болгарами, и фамилия сохранила свою первоначальную звучность без изменений.