Фамилия Аниканюдзе — один из ярких примеров грузинской модели фамильного суффикса -дзе. Этот суффикс, распространённый в Западной Грузии (особенно в Имеретии, Гурии и Аджарии), означает «сын» или «потомок». Буквально Аниканюдзе — «сын Аникана» или «из рода Аникана». В отличие от суффикса -швили (более универсального и позднего, «дитя»), -дзе чаще указывает на более древнюю родовую связь, на принадлежность к определённому клану или селу. Система грузинских фамилий окончательно оформилась примерно в XV–XVII веках, так что фамилия закрепилась, скорее всего, в позднем Средневековье.

Основа фамилии — мужское имя Аникан. Это грузинская форма от греческого имени Иоанн (Иван), которое через народное произношение и местные адаптации дало варианты Аника, Аникин, Аникан. В грузинской ономастике имя Аникан фиксируется как уменьшительно-ласкательное или просторечное производное от Иоаннэ (Иоанн). Корень фамилии не местный, а пришлый, христианский, проникший через Византию. Фамилии на -дзе с основой, восходящей к греческому имени, — не редкость в Грузии: они свидетельствуют о том, что носители принадлежали к христианской культуре.

Вероятно, предки Аниканюдзе были крестьянами или мелкими дворянами (азнаурами) в одном из западногрузинских княжеств. Точное место бытования фамилии сегодня — скорее всего, регионы Имерети или Гурия, где суффикс -дзе встречается особенно часто. Грузинские фамилии с таким суффиксом редко мигрировали далеко от исходного района, поэтому носители Аниканюдзе и сейчас могут быть сконцентрированы в определённых сёлах Западной Грузии.

Сравните с однокоренными грузинскими фамилиями: Аникашвили (с тем же корнем, но с другим суффиксом) или Аникидзе (более краткий вариант). Аниканюдзе — более редкая форма, где имя Аникан сохранилось в полном виде. Это делает фамилию ценной для лингвиста: она хранит архаичный вариант имени, который в повседневной речи уже почти не встречается.