Фамилия Анкичева — женская форма мужской фамилии Анкичев. Её основа — личное имя Анкич, которое в русской традиции является просторечной формой крестильного имени Иоанникий (в бытовом произношении — Анникий, Анкич). Имя Иоанникий греческого происхождения и означает «победоносный» или «победитель». В святцах оно встречается редко, поэтому и фамилий от него образовалось немного, что делает Анкичевых носителями довольно редкой родовой фамилии.

Словообразовательная модель типична для русского севера и центральных областей: суффикс -ев присоединялся к основам на мягкий согласный или шипящий. В данном случае основа Анкич даёт Анкичев. Если бы в основе было имя Анкика, фамилия выглядела бы как Анкикин. Форма Анкичева — это притяжательное прилагательное в женском роде, отвечавшее на вопрос «чья?»: «жена или дочь Анкича».

В исторических документах фамилия встречается с XVII века. В Переписной книге Вологды 1678 года упомянут крестьянин Ивашко Анкичев, что указывает на северное происхождение рода. Северные территории (Вологодчина, Архангельская область) традиционно давали больше фамилий на -ев, так как там дольше сохранялась архаичная система именований по отцу и деду.

Сложность в том, что фамилию могли случайно или намеренно спутать с Анкидиновой или Анкудиновой (от имени Анкудин, греч. «неунывающий»). В устной речи Анкич и Анкудин звучали похоже, особенно в диалектах, где «ч» и «д» могли смешиваться. Однако документальные записи XVII века чётко разделяют эти фамилии: Анкичевы — от Иоанникия, Анкудиновы — от Акиндина. Так что версия с редким именем Иоанникий выглядит убедительнее.

В современной России фамилия Анкичева встречается редко, в основном в Ивановской, Костромской и Вологодской областях. Если ваши предки оттуда, скорее всего, они были крестьянами или посадскими людьми, а родовая память уходит в конец XVII — начало XVIII века.