Фамилия Аполярова — женская форма, мужская, соответственно, Аполяров. Взглянув на неё, сразу замечаешь суффикс -ов, самый распространённый в русских фамилиях. Он указывает на принадлежность: «сын Аполяра». Значит, ключ к происхождению — в основе «Аполяр». Это имя или прозвище, и здесь начинается самое интересное.

Самая вероятная версия — фамилия образована от имени Аполлон. В народной речи это имя нередко упрощали: Аполлон превращался в Аполя или Аполяра. Суффикс -ар в прозвищах и неканонических именах (вроде Бондарь, Песчар) встречается, но здесь он, скорее, результат стяжения исходного имени. То есть Аполяр — это просторечная, обиходная форма церковного имени Аполлон. В этом случае предок носителя фамилии был крещён в честь святого Аполлона — таких в православных святцах несколько, включая мучеников и преподобных.

Вторая версия, менее вероятная, но возможная — связь с географическим названием. В некоторых регионах России есть топонимы вроде Аполярово или Аполяровка. Если поселение носило такое имя, то его жителя могли прозвать «аполяровским», а затем прозвище сократилось до фамилии. Однако эта гипотеза слабее: таких названий крайне мало, и они почти наверняка сами произошли от той же фамилии или имени.

Обратите внимание на ударение. В фамилии Аполярова оно, скорее всего, падает на второй слог: Апо́лярова. Это типично для фамилий, образованных от имён с ударением на второй слог (Апо́ллон — Апо́ляров). Если бы ударение было на последний слог — Аполяро́ва — это указывало бы на основу «поляр» (от «поляк» или «поле»), но приставка «а-» в таком контексте нелогична. Поэтому вариант с ударением на «о» — основной.

Фамилия редкая, её носители встречаются рассеянно, без ярко выраженного «гнезда» в одном регионе. Это говорит о том, что фамилия возникла не в среде массового крестьянства, а, возможно, в семье священника или прихожанина, где имя Аполлон было в ходу. Родство с другими фамилиями — Аполлонов, Аполлонский — прослеживается, но Аполяров стоит особняком: это не книжный, а живой, разговорный вариант, что придаёт ей своеобразный оттенок.