Фамилия Аполинская с высокой вероятностью связана с географическим названием — деревней Аполино в Гресском районе Минской области (Белоруссия). Такую фамилию мог получить человек, переехавший из этого селения в другую местность: в прошлом выходцам нередко давали прозвище по месту прежнего жительства, которое затем закреплялось в фамилии. Суффикс -ск- в данном случае типичен для фамилий, образованных от топонимов, и указывает на принадлежность к местности («аполинский» — то есть «из Аполина»).

Есть и другая версия, менее привязанная к карте. Основа фамилии может восходить к имени Аполя — народной, сокращённой форме крестильного имени Аполлоний. Это имя греческого происхождения, означающее «принадлежащий Аполлону». В древнегреческой мифологии Аполлон — сын Зевса, бог света, солнца, покровитель искусств и предводитель муз, а также грозный прорицатель. Имя Аполлоний было хорошо известно в православной традиции благодаря нескольким раннехристианским святым. Если фамилия образована от имени, то модель типична для русских, украинских и белорусских фамилий: к основе на -а- добавляется суффикс -ин-, дающий форму Аполин, а затем — фамильный суффикс -ский (Аполинский → Аполинская).

Какая из версий правдоподобнее? В пользу топонимического происхождения говорит наличие реального населённого пункта Аполино. Фамилии на -ский в Белоруссии и соседних регионах часто возникали именно как указание на место выхода. Имя Аполлоний встречалось реже, чем, скажем, Иван или Пётр, но полностью исключать антропонимическую версию нельзя — особенно если учесть, что в народной среде имя могло звучать как Аполя, а фамилия от него — Аполинский — могла возникнуть независимо от деревни.

Таким образом, носительница фамилии Аполинская может вести род либо от жителей белорусской деревни Аполино, либо от человека, носившего имя или прозвище Аполя, восходящее к имени древнегреческого бога. Обе версии имеют право на существование, и точный ответ зависит от генеалогических изысканий в конкретной семье.