Фамилия Апросова — это женская форма, а её основа — мужская фамилия Апросов. Разбирать её стоит в мужском варианте, так как именно он указывает на прозвище или имя родоначальника. Модель образования проста и прозрачна: суффикс -ов указывает на принадлежность, то есть «Апросов» буквально означает «сын Апроса». Вопрос в том, откуда взялось само имя Апрос.

Самая надёжная версия ведёт к каноническому имени Амвросий. В народной речи оно звучало как Абросим или Обросим (сравните с фамилией Абросимов). Но в русских говорах часто путали или заменяли звонкие и глухие согласные: «б» легко переходило в «п». Так из «Аброс» (сокращение от Абросим) возник «Апрос». Тот же фонетический процесс мы видим в известной фамилии Апраксин, которая пошла от «Абраксин». Имя Амвросий в переводе с греческого означает «бессмертный», но для крестьянина, дававшего имя сыну, это звучало просто как привычное бытовое прозвище, без отсылки к античной культуре.

Менее вероятная, но любопытная версия выводит Апроса из диалектного слова «апрос» — так в некоторых украинских и белорусских говорах называли опрос или расспросы. Тогда прозвище могло закрепиться за слишком любопытным человеком или, наоборот, за тем, кого постоянно допрашивали по службе. Однако эта гипотеза слабее: она не объясняет, почему фамилия образована по стандартной русской патронимической модели с суффиксом -ов, которая почти всегда цеплялась за крестильные имена, а не за нарицательные слова.

Фамилия редкая, нечастотная. Это наводит на мысль о локальном бытовании: скорее всего, несколько семей с прозвищем Апрос жили в одной местности или даже в одном селе, и фамилия закрепилась там в XVII–XVIII веках, когда центральная Россия и Поволжье массово обзаводились фамилиями по отчеству. Встретить Апросову сегодня — значит почти наверняка иметь корни в каком-то конкретном, небольшом регионе.