Фамилию Апросова не назовёшь частой, и её происхождение — хороший пример того, как за простым звучанием скрывается неочевидная история. В основе лежит краткая форма крестильного имени. Скорее всего, это производное от канонического имени Амвросий, которое в просторечии звучало как Абросим, а затем и как Апрося. Механизм простой: имя Амвросий в бытовой речи сократили до Апроса, а затем добавили типичный русский патронимический суффикс -ов. Получилось «сын Апроса» — Апросов.

Менее вероятна, но возможна связь с греческим словом «апрос» (ἄπρως) — «несгораемый», «неопалимый». Это слово встречается в церковнославянских текстах как эпитет («неопалимая купина»). Однако для образования прозвища в крестьянской или посадской среде такое книжное слово — редкость. Версия с Амвросием проще и правдоподобнее: она укладывается в массовую модель, когда полное имя сокращали до двух-трёх слогов (Аггей → Агей → Агеев, Амвросий → Апрося → Апросов).

Обратите внимание на суффикс. В фамилии Апросов стоит -ов, а не -ин, хотя основа оканчивается на -а (Апроса). По правилам русской ономастики, если ударение в основе падает на последний слог (Апро́са), суффикс -ов допустим. Если бы исходная форма была Апро́с (без окончания -а), то -ов был бы единственным вариантом. Эта деталь указывает, что фамилия закрепилась в той форме, которая была удобна для произношения в конкретном говоре — скорее всего, в центральных или южнорусских областях.

Географически фамилия тяготеет к регионам, где имя Амвросий было популярно среди духовенства и крестьян — например, к Воронежской, Тамбовской, Рязанской губерниям. Встречается она и у старообрядцев, которые часто сохраняли архаичные формы имён. По социальному составу носители фамилии в XIX веке — в основном государственные крестьяне и мещане, реже — священники (у которых фамилии на -ов тоже встречались, хоть и реже, чем на -ский).

В написании фамилии возможна путаница с однокоренной, но другой фамилией Абросов (от Абросим). Разница в одну букву — и корень уже другой. Апросов — более редкий вариант, который в переписях могли записать и как Опросов (под влиянием аканья). Если ваши предки носили именно эту фамилию, то с высокой вероятностью их звали Амвросиями, а сами они происходили из среды, где имя не переделывали на западный манер, а сохраняли в народной, усечённой форме.