Фамилия Арапченкова — женская форма от Арапченков, а та, в свою очередь, образована от мужского прозвища или имени Арапчонок. Разберём эту цепочку по порядку.

В основе лежит слово «арап». В старину так называли темнокожих людей, чаще всего выходцев из Африки или Аравии, а также — в переносном смысле — чернокожего слугу или шута при царском дворе. Прозвище Арап могли дать человеку за очень смуглую кожу, чёрные курчавые волосы или за специфическую работу, связанную с экзотической внешностью. От этого прозвища через уменьшительно-ласкательный суффикс -чонок (как «котёнок», «ребёнок») появилось прозвание Арапчонок — «маленький арап», «сын или потомок Арапа». А уже от него — фамилия Арапченков (суффикс -ов указывает на принадлежность: «чей?» — Арапчонков).

Обратите внимание на редкую морфологию: суффикс -чонок в фамилиях встречается нечасто. Это говорит о том, что фамилия закрепилась в устной речи, скорее всего, в крестьянской или посадской среде, где прозвища с уменьшительными формами были обычным делом. Вариант Арапченков (с буквой «е» вместо «ё») — результат орфографического упрощения: в документах XIX–XX веков «ё» часто заменяли на «е».

Географически фамилия Арапченковы тяготеют к южным и центральным регионам России, особенно к Рязанской, Тамбовской и Воронежской губерниям. Там же встречаются однокоренные фамилии: Арапов, Арапкин, Арапчёнок. Если носители фамилии вели родословную, стоит искать предков среди однодворцев или государственных крестьян — в дворянских родах Арапченковы не зафиксированы.