Фамилия Арапёнкова образована от мужской формы Арапёнков, а та, в свою очередь, от прозвища или нецерковного имени Арапёнок. Суффикс -ёнок указывает на «малого» или «детёныша»: в русских говорах он широко использовался для обозначения ребёнка по отцу или по характерному признаку (ср. Волчонок, Котёнок). Таким образом, Арапёнок — это «маленький арап» или «сын арапа».

Слово «арап» в русском языке XVIII–XIX веков означало чернокожего человека, чаще всего выходца из Африки. В дворянском быту арапами называли слуг-телохранителей или камердинеров, которых было модно держать при богатых домах. Знаменитый «арап Петра Великого» — Абрам Ганнибал, прадед Пушкина, — самый известный носитель такого прозвания, которое впоследствии стало фамилией. Однако в крестьянской и мещанской среде прозвище Арап могло не иметь прямого отношения к цвету кожи: в некоторых диалектах «арапом» называли человека с очень тёмными волосами и смуглой кожей, а также бродягу, цыгана или просто смуглого, чернявого парня.

Фамилия Арапёнкова — редкая по своей словообразовательной модели. Суффикс -ёнков (-ёнк-) характерен для южновеликорусских и украинских говоров, где фамилии на -енко массово распространены. Форма на -ов (Арапёнков) — это русифицированный вариант, адаптированный под северную и центральную Россию. Окончание -а в Арапёнкова указывает на женскую линию или на принадлежность (чьих будете?), что типично для фамилий, зафиксированных в форме родительного падежа.

Географически фамилия тяготеет к регионам, где украинское влияние смешивалось с русским: Курская, Воронежская, Белгородская области, а также юг Рязанщины. Встречаемость её крайне низкая — это не массовая, а локальная фамилия, возникшая в одном-двух селениях и не ушедшая далеко от места появления. Носительница фамилии Арапёнкова, скорее всего, происходит из семьи, где предок выделялся внешностью (смуглый, черноволосый) или получил прозвище по профессии (слуга при господине-арапе, что реже).