Фамилия Арапиева — женская форма фамилии Арапиев, и её разбор стоит начать с мужского варианта, который образован по стандартной патронимической модели: к основе Арап добавлен суффикс -ев, указывающий на принадлежность («чей?» — сын Арапа). Суффикс -ев, а не -ов, появляется после мягкого или шипящего согласного, что здесь и происходит: основа заканчивается на твёрдый «п», но в древнерусском произношении и написании в таких фамилиях часто закреплялся вариант, который мы видим.

Ключевой элемент — прозвище Арап. В русском языке словом «арап» с XVI–XVII веков называли чернокожего человека, африканца, а также (реже) слугу или телохранителя африканского происхождения. Самое известное упоминание — «арап Петра Великого» Ибрагим Ганнибал, предок А. С. Пушкина. Прозвище Арап мог получить человек с тёмной кожей, смуглый до черноты, с курчавыми волосами, либо тот, кто служил у такого человека. Но есть и другая версия: в южнорусских и украинских говорах «арап» — это цыган, и прозвище могли дать за смуглость или кочевой образ жизни.

С географией фамилии всё прозрачнее: Арапиевы — довольно редкая фамилия. По данным современных исследований, она встречается в основном в Дагестане и Чечне, а также среди казахов. Это не случайно: в тюркских и кавказских языках слово «арап» — то же обозначение темнокожего человека, но без негативного оттенка. Фамилия могла закрепиться в этих регионах через арабское или персидское влияние, либо через реальных выходцев из Африки, попавших на Кавказ в составе османской или русской армий. В русских же центральных губерниях фамилия почти не фиксируется.

Таким образом, носитель фамилии Арапиев (и Арапиева) скорее всего имеет корни на Кавказе или в тюркоязычной среде, а её основа — прозвище, данное за внешность, профессию или этническую принадлежность. Однозначно утверждать, что предок был африканцем, нельзя: прозвище могло быть переносным, но сама модель образования фамилии не оставляет сомнений в её происхождении от имени-прозвища Арап.