Фамилия Арихбаев — редкая и географически привязанная. Её носители почти поголовно встречаются в одном регионе: это кавказские республики, в первую очередь Чечня, Ингушетия и соседние районы Дагестана. Если вы встретили Арихбаева за пределами Северного Кавказа, с высокой вероятностью это потомок переселенцев конца XX века. Такая узкая локализация сразу подсказывает, что фамилия тюркская или кавказская по происхождению, а не славянская.

Разбираем словообразовательную модель. Основа «Арихбай» плюс русский патронимический суффикс «-ев». Суффикс «-ев», а не «-ов», указывает, что основа оканчивается на мягкий согласный или на «й». В данном случае — на «й». Сама основа — составное имя или прозвище. Первая часть «Арих» — скорее всего, искажённое или диалектное «арык» (канал, ручей) либо «арих» (горький, терпкий) в тюркских языках. Вторая часть «бай» — классический тюркский титул «богатый, господин, хозяин». Получается «Арык-бай» или «Арих-бай» — «хозяин арыка» или «горький (суровый) господин».

Есть и вторая, менее вероятная версия: основа от арабского имени «Арих» (вариант «Арих» как «благоуханный»). Но на Кавказе арабские имена чаще входили через ислам, а не через тюркскую модель на «-бай». Поэтому версия с тюркским корнем и прозвищем правдоподобнее: предок мог быть владельцем или строителем оросительных каналов в горной или предгорной местности, либо человеком с крутым нравом.

Обратите внимание на суффикс «-ев»: он выдаёт русификацию фамилии в XIX–XX веках, когда русская администрация на Кавказе записывала местные имена и прозвища по русскому образцу, добавляя окончание. До этого носитель мог зваться просто Арихбай или Арихбаев (без суффикса) — по отцу. Фамилия не древняя, скорее всего, сформировалась не раньше середины XIX века, когда начался массовый учёт населения в Терской области.

Сравните с однокоренными кавказскими фамилиями: Арыкбаев, Арыков, Баймурзаев. Все они строятся по той же схеме: тюркское имя/прозвище + «-бай» + русский суффикс. Арихбаев стоит в этом ряду особняком из-за редкой первой части «Арих» — она почти не встречается в других фамилиях, что делает её хорошим маркером для генеалогического поиска. Если ваш предок — Арихбаев, ищите корни в чеченских или ингушских тейпах, связанных с земледелием и водопользованием.