Фамилия Архиреенко построена по самой распространённой украинской модели: суффикс -енко означал «сын» или «потомок». В основе лежит слово «архиерей» — высший православный сан (епископ). Таким образом, Архиреенко — это буквально «сын архиерея» или, что точнее, «потомок того, кого называли архиереем».

Однако прямой связи с реальным духовенством здесь почти нет. Фамилии на -енко в XVII–XVIII веках массово получали крестьяне и казаки Левобережной и Слободской Украины (территории современных Черниговской, Полтавской, Сумской областей). Дети настоящих архиереев носили бы фамилии иного типа — чаще на -ский (например, Архиерейский). Поэтому версия, что предок был именно священником, маловероятна.

Гораздо правдоподобнее прозвищное происхождение. В народной среде «архиереем» могли прозвать человека за важную осанку, строгий нрав, любовь к нравоучениям или просто за то, что он вёл себя с достоинством. Прозвище могли дать и строгому старосте, и зажиточному мельнику, и просто благочестивому крестьянину. Вторая версия — предок служил при архиерее: был дьячком, ключником или псаломщиком. В этом случае фамилия закрепилась за ним как за «человеком архиерея».

Обратите внимание на редкую особенность: у фамилии Архиреенко почти нет вариантов с другими суффиксами (нет распространённых форм Архиреев или Архиреевский). Это значит, что она сложилась именно в той среде, где модель на -енко была господствующей — в украинской казацкой или крестьянской. Изредка встречается написание Архереенко (с одним «е»), но это диалектный вариант, возникший из-за беглого произношения.

Итог простой: фамилия Архиреенко не указывает на священнический род, а рассказывает о том, как соседи или община называли предка — важного, строгого или просто заметного человека.