Фамилия Аржакаев — одна из тех, где редкий суффикс сразу задаёт направление поиска. В русских фамилиях -аев — это вариант суффикса -ев, который присоединяют к основам, заканчивающимся на -ай или твёрдый согласный: Лопата → Лопатаев, Малай → Малаев. Здесь основа — Аржак-, и фамилия строится по простой модели «прозвище + -аев», то есть «потомок человека по прозвищу Аржак».

Корень «арж-» тюркский. В сибирско-татарских и алтайских наречиях «аржа» или «арза» означает «можжевельник». У многих тюркских народов это растение считалось священным — его использовали в обрядах очищения, окуривали жильё. Прозвище Аржак могли дать человеку, который жил в можжевеловом лесу, торговал им или собирал для обрядов. Реже — как охранительное имя, чтобы отогнать злые силы.

Вторая версия — личное имя Аржак (или Арзак), которое встречается у башкир и татар. Тогда фамилия Аржакаев — чистое отчество от этого имени. Но в русской среде фамилии чаще образовывали от прозвищ, чем от редких иноязычных имён, поэтому первая версия правдоподобнее.

Географически фамилия тянется к Поволжью и Уралу — Башкортостан, Оренбургская область, где тюркский корень «аржак» был в ходу. Встречается и у русских, и у крещёных татар, и у башкир — следствие давних межэтнических контактов. Сословно предки Аржакаевых, скорее всего, были государственными или ясачными крестьянами: фамилия не попала в родословные книги, значит, её носители — люди из простонародья, занятые земледелием или промыслами.

Сравните с однокоренными фамилиями: Аржаков, Аржанов, Аржанников. Аржакаев стоит особняком именно из-за суффикса -аев. Он подсказывает, что прозвище оканчивалось на твёрдый согласный, а не на мягкий или -н. Для ономастики это ключевая деталь — такие мелочи позволяют отличить одну фамилию от другой даже при общем корне.