Фамилия Асанович — один из тех случаев, когда написание через «а» скрывает более очевидную исходную форму. Вероятнее всего, перед нами вариант фамилии Осанович, а её основа — прозвище Осан. В народе так могли назвать человека, обращая внимание на его осанку. Прямое значение здесь двоится: с одной стороны, «осанка» — это стать и прямая спина, с другой — прозвище легко могло стать ироничным и закрепиться за сутулым, сгорбившимся человеком. Такие прозвища по внешнему признаку — один из самых распространённых источников русских и белорусских фамилий.

Модель образования проста: к основе Осан- добавился типичный для западных регионов (Беларусь, Польша, Украина) суффикс -ович, который изначально указывал на отчество: «сын Осана». Со временем фамилия обкаталась в произношении: безударное «о» перешло в «а», и на письме закрепился вариант Асанович. В документах XIX века вы с равной вероятностью встретите обе формы — Осанович и Асанович.

Существует и альтернативная версия, которая выводит фамилию напрямую от мужского имени Асан — восточного варианта имени Хасан (в переводе с арабского «красивый»). Это имя было распространено у тюркских народов и иногда попадало в русскую среду через крещёных татар или торговые контакты. Однако эта гипотеза менее правдоподобна для славянской фамилии с суффиксом -ович: имя Асан скорее дало бы форму Асанов или Асанин, а не Асанович. К тому же прозвищная версия объясняет и вариант Осанович, который для фамилии является исходным.

Таким образом, если ваши предки носили фамилию Асанович, скорее всего, родом они из западных губерний Российской империи, а их пращур получил уличное прозвище по осанке — прямой или, наоборот, сгорбленной.