Фамилия Асколова — женская форма от Асколов, и её разбор стоит начать с суффикса. Модель «основа + -ов» типична для русских фамилий, образованных от прозвищ или канонических имён. В данном случае основа «Аскол» не входит в список распространённых православных имён, поэтому логичнее искать её в прозвищной или диалектной среде.

Самая прямая версия — связь с древнерусским именем Аскольд. Это имя скандинавского происхождения (от Hǫskuldr), известно по летописному князю Аскольду, правившему в Киеве в IX веке. От него могли образовать уменьшительную или обиходную форму Аскол, а от неё — фамилию Асколов. Такая модель встречается: от полного имени отсекали конечную часть, добавляя просторечный суффиксальный остаток. Подтверждением служит то, что в русских говорах имя Аскольд иногда сокращали до Аскол, особенно в крестьянской среде, где длинные «княжеские» имена упрощали.

Менее вероятная, но допустимая версия — от прозвища Аскол, связанного с глаголом «аскать» (просить, клянчить) или диалектным «аскол» (осколок, щепка). В первом случае прозвище мог получить попрошайка или нищий, во втором — мастер, работающий с деревом, или человек с острым, колким характером. Однако эти значения плохо подтверждаются словарями: «аскать» — слово редкое, а «оскол» в значении «щепка» фиксируется лишь в некоторых северных говорах.

Географически фамилия Асколов (и Асколова) встречается редко, в основном на юге России и в Поволжье. Это косвенно поддерживает версию об имени Аскольд: князь Аскольд почитался в некоторых старообрядческих и народных традициях именно в этих регионах. Сословно фамилия не элитарная — носителями были крестьяне и мещане, что объясняет её редкость: имя Аскольд не вошло в святцы, поэтому в быту использовалось лишь локально.

В итоге: Асколова — скорее всего, потомок человека, которого в обиходе звали Аскол, сокращённо от Аскольд. Это редкий случай, когда в основе фамилии лежит древнерусское княжеское имя, но в народной, а не книжной форме.