Фамилия Астремская — почти наверняка вариант более распространённой фамилии Остремская. Смена начальной гласной «о» на «а» — типичное явление для фамилий, записанных в документах под влиянием «акающих» говоров (южнорусских, белорусских, польских). Поэтому ключ к разгадке — в корне «остр-», а не в редком «астр-».

Основа фамилии — топоним: название населённого пункта вроде Острем, Остремово или Остремка. Такие названия, в свою очередь, могли возникнуть от слова «острый» (островерхий холм, крутой берег) либо от диалектного «острем» — так в некоторых областях называли молодой лес, поросль. Второй вариант правдоподобнее: если предок был выходцем из местности, где вырубили старый лес и пошла густая щётка молодняка, поселение могли прозвать Остремом.

Суффикс «-ск-» указывает на типичную модель образования дворянских и шляхетских фамилий по названию владения или места рождения. Окончание «-ая» — женская форма, то есть носительница — либо дочь, либо жена человека по фамилии Астремский. В дореволюционной России такая форма фамилии была обязательной для женщин, и до сих пор она сохраняется у потомков. Встречается фамилия преимущественно в западных регионах бывшей Российской империи — на территории современной Беларуси, Украины и в прилегающих областях России, что подтверждает связь с польско-литовской традицией образования фамилий на «-ский/-цкий».

Известных исторических деятелей с этой фамилией почти нет — она редкая, и её носители, скорее всего, относились к мелкопоместной шляхте или к крестьянам, получившим фамилию по месту выхода. Если ваши предки носили её до революции, велика вероятность, что они происходили из западных губерний, и фамилия в метриках могла писаться через «о» — Остремская.