Фамилия Авцин образована от мирского имени Авца, которое восходит к белорусскому слову «авца» — «овца». Это имя относилось к древней славянской традиции называть детей «от природы»: считалось, что, нарекая младенца именем животного, родители передают ему качества этого существа — кротость, спокойствие, безобидность. В быту же Авцой могли прозвать смиренного, тихого человека, который не лезет в ссоры.

Словообразовательная модель проста: к основе Авц- добавили типичный русский патронимический суффикс -ин, означающий «сын» или «потомок». То есть Авцин буквально — «сын Авцы». Такая модель характерна для фамилий, возникших в среде крестьян и посадских людей, где мирские имена были нормой вплоть до XVII–XVIII веков.

Географически фамилия тяготеет к западнорусским и белорусским землям: именно там слово «авца» было в ходу, а не церковнославянское «овца». В центральной России ту же основу могли бы передать через Овца — отсюда фамилия Овцин, которая встречается чаще. Авцин — вариант, сохранивший местное произношение.

Спорных версий происхождения немного. Иногда пытаются связать фамилию с греческим именем Авксентий (через сокращение Авца), но это маловероятно: в народной среде от полных церковных имён образовывали другие уменьшительные формы — Авксюта, Аксён. Прямая связь с «овцой» куда прозрачнее и подтверждается белорусской лексикой.

Таким образом, предки носителей фамилии Авцин — скорее всего, крестьяне или ремесленники из западнорусских губерний, носившие простое прозвище по характеру или по древнему обычаю «природных» имён. Фамилия редкая, недворянская, но с ясной и живой этимологией.