Фамилия Авцынова — женская форма, и чтобы разобраться в её корнях, нужно начать с мужского варианта Авцынов. Основа здесь «Авцын», а суффикс «-ов» указывает на принадлежность: «сын Авцына» или «из рода Авцына». Сама основа «Авцын» — это, скорее всего, усечённая или диалектная форма крестильного имени Авксентий. В русской народной среде длинные имена часто сокращали: Авксентий превращался в Авксен, а затем в Авцу или Авцын, с характерным для южнорусских и украинских говоров окончанием «-ын». Греческое имя Авксентий происходит от слова «ауксано» — расти, возрастать, так что в основе фамилии лежит идея роста, приумножения.

Есть и альтернативная версия: фамилия могла возникнуть от прозвища «Авцын», связанного с диалектным словом «овца». В некоторых говорах «авца» — это овца, а «авцын» — овчинный или овечий. Тогда предок носителя фамилии мог заниматься овцеводством или выделкой овчин. Однако эта гипотеза менее вероятна: фамилии от уменьшительных форм крестильных имён в России встречаются гораздо чаще, чем от прозвищ по животным. Ономастические словари, в частности работы Б. Унбегауна, подтверждают, что народные формы имён вроде Авцын — обычное явление для русской антропонимии.

Географически фамилия Авцынов (и Авцынова) редкая и тяготеет к югу России и Украине — территориям, где было распространено «аканье» и замена «о» на «а» в начале слова (Авксентий вместо Овксентий). Встречается она и в среде донских казаков, где фиксировались фамилии от уменьшительных форм имён. С точки зрения словообразования, суффикс «-ын» (как в Авцын) редок для русских фамилий — он типичен для украинской ономастики, где часто встречаются фамилии на «-ин» от имён с основой на гласный. Но в русском варианте он мог возникнуть под влиянием местных говоров, где «-ын» превращалось в «-ин». Таким образом, фамилия Авцынова — это след сложного процесса адаптации греческого имени в крестьянской среде, где имя сокращали до неузнаваемости, а суффикс указывал на родство.