Фамилия Айдари — редкий случай в русском ономастиконе, и первое, что цепляет взгляд, — её нетипичное окончание. Большинство русских фамилий заканчивается на -ов, -ев, -ин или -ский, а здесь — просто -и. Это не застывшая форма родительного или притяжательного падежа, а, скорее всего, заимствованное прозвище или этноним, которое принесли в русскую среду извне и оставили без переделки.

Самый вероятный источник — тюркское имя Айдар. В языках тюркской группы «ай» означает «луна», а «дар» — «дар, владение». Имя Айдар переводится как «лунный дар» или «луноподобный», то есть красивый, светлый. В татарской, башкирской, казахской среде это имя было распространено. Фамилия Айдари могла возникнуть, когда человека по имени Айдар записали в русских документах, не добавляя привычного суффикса, — такое бывало с инородцами, крещёными татарами, казаками или выходцами из Средней Азии. Форма на -и встречается у фамилий украинского или польского происхождения (например, Галай, Кулинич), но в случае Айдари корень явно не славянский.

Географически фамилия Айдари встречается в основном в Поволжье и на Урале — в зоне активных контактов русских с тюркскими народами. Встречается она и среди донских казаков, где тюркские корни не редкость. Носители фамилии, скорее всего, потомки татарских мурз, башкирских старшин или простых крестьян, получивших фамилию по имени отца без переделки на русский лад. Сословного барьера здесь нет: Айдари мог быть и князем, и крепостным — всё решал конкретный случай.

Сравните с однокоренными фамилиями Айдаров, Айдаровский, Айдарин — все они восходят к тому же имени Айдар. Айдари отличается лишь тем, что сохранила исходную форму без суффикса, что делает её более архаичной и редкой. Если вы носите эту фамилию, велика вероятность, что ваш предок жил на границе культур — там, где русский язык легко вбирал тюркские слова, не перекраивая их под свои грамматические лекала.