Фамилия Айдари — редкий случай в русском ономастиконе. Сразу бросается в глаза её нетипичное окончание: большинство русских фамилий заканчивается на -ов, -ев, -ин, -ский. Айдари — не застывшая форма родительного или притяжательного падежа, а скорее всего, заимствованное прозвище или этноним, которое принесли в русскую среду извне.

Самый вероятный источник — тюркское имя Айдар. В языках тюркской группы «ай» означает «луна», а «дар» — «дар, владение». Имя Айдар переводится как «лунный дар» или «луноподобный» (красивый, светлый). В татарской, башкирской, казахской среде это имя было распространено. Фамилия Айдари могла возникнуть, когда человека по имени Айдар записали в русских документах, не добавляя привычного суффикса, — такое бывало с инородцами, крещёными татарами, казаками или выходцами из Средней Азии. Форма на -и встречается у фамилий украинского или польского происхождения (например, Галай, Кулинич), но в случае Айдари корень явно не славянский.

Вторая версия, менее вероятная, — связь с арабским «айдари» (айдарий), что в некоторых диалектах означает «лев» или «сильный». Но в русской антропонимике эта гипотеза не находит подтверждения: фамилия не фиксируется в старых дворянских списках или купеческих книгах, где такие экзотические прозвища могли бы закрепиться.

Географически фамилия Айдари встречается в основном в Поволжье и на Урале — в зоне активных контактов русских с тюркскими народами. Встречается она и среди донских казаков, где тюркские корни не редкость. Носители фамилии, скорее всего, потомки татарских мурз, башкирских старшин или простых крестьян, получивших фамилию по имени отца без переделки на русский лад. Сословного барьера здесь нет: Айдари мог быть и князем, и крепостным — всё решал конкретный случай.

Сравните с однокоренными фамилиями Айдаров, Айдаровский, Айдарин — все они восходят к тому же имени Айдар. Айдари отличается лишь тем, что сохранила исходную форму без суффикса, что делает её более архаичной и редкой. Если вы носите эту фамилию, велика вероятность, что ваш предок жил на границе культур — там, где русский язык легко вбирал тюркские слова, не перекраивая их под свои грамматические лекала.