Фамилия Бабачкина — женская форма от Бабачкин, а та, в свою очередь, образована от прозвища или мирского имени Бабачка. В основе лежит слово «баба» — в древнерусском языке оно означало не только женщину, но и повитуху, знахарку, а иногда и замужнюю крестьянку. Уменьшительно-ласкательный суффикс -к- (-очк-) придаёт основе оттенок родственности или принадлежности: Бабачка — это, скорее всего, «бабин сын» или «бабин работник», то есть человек, так или иначе связанный с женщиной по имени или прозвищу Баба.

Модель типична для русских фамилий: суффикс -ин указывает на принадлежность («чей?» — Бабачкин). Такие фамилии чаще всего встречались в северных и центральных губерниях, где отчества на -ин были особенно распространены. В отличие от фамилий на -ов, которые образовывались от названий профессий или животных, -ин обычно прикреплялся к личным именам и прозвищам, оканчивающимся на -а/-я. Так что Бабачкин — это «сын Бабачки» или «человек из рода Бабачки».

Менее вероятная, но возможная версия — связь с диалектным словом «бабачка» (бабочка) или даже с «бабайка» (весло, лодка), но в таком случае фамилия должна была бы писаться иначе или иметь другую географию. В говорах Поволжья и Сибири «бабачкой» могли называть мотылька, но как прозвище это маловероятно: прозвища от насекомых обычно давали за внешность или характер, а «бабачка» звучит как ласкательное обращение.

По сословному составу фамилия Бабачкин — крестьянская или мещанская. В дворянских родословных она не зафиксирована, что подтверждает её простонародное происхождение. В переписях XIX века носители фамилии встречаются преимущественно в Тверской, Ярославской и Костромской губерниях — в зоне бытования акающих говоров, где «бабачка» произносилось как «бабачка», а не «бобачка». Если ваши предки оттуда, то корни фамилии стоит искать в местных писцовых книгах и ревизских сказках: там, скорее всего, записан некий крестьянин по прозвищу Бабачка, чьи дети и стали Бабачкиными.