Фамилия Бабаренко построена по распространённой восточноукраинской модели: основа плюс суффикс -енко, который в XVI–XVII веках означал «сын» или «потомок». В буквальном прочтении Бабаренко — «сын Бабаря». Вопрос упирается в то, что такое «Бабарь».

Самая прямая версия — прозвище Бабарь от южнорусского диалектного глагола «бабарить» — говорить без умолку, болтать, тараторить. В этом случае Бабаренко — потомок болтливого, говорливого человека. Версия неплохая, потому что фамилия встречается прежде всего в южных областях — на Слобожанщине, в современной Сумской и Харьковской областях Украины, где этот глагол был в ходу.

Есть и другая, менее очевидная линия: Бабарь могло быть производным от имени Баба (уменьшительное от Вавила или от «баба» в значении «женщина, мать»). Но для фамилии Бабаренко такая цепочка выглядит натянутой: прозвища от «бабы» обычно давали по женской линии или в насмешку, а суффикс -енко, наоборот, подчёркивает отчество.

Словообразовательно фамилия прозрачна: ударение падает на последний слог — Бабарéнко. Встречается вариант с ударением на второй слог — Бабáренко, но он редок и, скорее всего, результат поздней акцентной ошибки. В XIX веке носители фамилии числились в основном среди крестьян и казаков, что типично для фамилий на -енко — самой массовой модели в левобережной Украине.

Интересная деталь: фамилия почти не выходит за пределы украинского ареала. В центральных и северных областях России она практически не встречается, что подтверждает её узкую региональную привязку. Если ваш предок носил фамилию Бабаренко, он с высокой вероятностью жил на территории современной Украины в пределах бывшей Слободской Украины.