Фамилия Бабарыкова — женская форма от Бабарыков, и её происхождение не так очевидно, как может показаться. В основе лежит прозвище или некалендарное имя Бабарык, которое в русских говорах имело несколько значений. Самое распространённое: «бабарык» — это неуклюжий, нерасторопный человек, увалень. В некоторых диалектах, особенно на севере и в Сибири, так называли болтуна или пустомелю. Есть и третья, более редкая версия: в рязанских и тамбовских говорах «бабарыкать» означало «говорить невнятно, бормотать», так что прозвище могло закрепиться за картавым или косноязычным человеком.

Словообразовательная модель типична для русских фамилий: суффикс -ов присоединился к основе Бабарык, а окончание -а указывает на принадлежность женщине (дочь или жена Бабарыкова). Фамилия относится к «патронимическому» типу — то есть образована от личного прозвища отца. Интересно, что суффикс -ык в основе (Бабарык) встречается реже, чем, скажем, -ик или -ок, что делает фамилию более локальной и узнаваемой.

Географически фамилия Бабарыков (и её женская форма) чаще всего встречается в центральных и северных регионах России — в Вологодской, Костромской, Кировской областях, а также на Урале. В этих местах диалектное слово «бабарык» было в ходу, и прозвище давали не в обиду, а как меткую бытовую характеристику. В дореволюционных переписях носители фамилии в основном числились крестьянами и мещанами, то есть происхождение у неё не дворянское, а народное.

Споров вокруг этимологии почти нет: ономасты (в частности, словарь русских фамилий под редакцией Б. Унбегауна) сходятся на прозвищной основе. Версия о связи с тюркским «баба» (отец, дед) маловероятна — суффикс -ык в таком случае дал бы фамилию Бабаев или Бабакин, но не Бабарыков. Так что ваш предок, скорее всего, был человеком неспешным и простоватым, либо, наоборот, любителем поговорить — в зависимости от того, какое значение слова закрепилось в его местности.