Фамилия Бабашин — редкий случай, когда в основе лежит не имя, а прозвище, связанное с семейным положением. Скорее всего, её дали человеку, который жил в доме родителей жены, то есть был примаком, или, по-старинному, «бабашом». В русских говорах слово «бабаш» означало именно мужчину, поселившегося в доме тестя, — положение в крестьянской среде унизительное, но для фамилии ставшее просто бытовой приметой.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: «чей сын?» — Бабашин, то есть сын Бабаша. Такая модель типична для прозвищ на -а/-я: если основа оканчивается на гласный или мягкий согласный, фамилия получает -ин, а не -ов. Так образованы и Строгин, и Головин, и, кстати, Бабурин — от «бабура» (деверь). Разница в суффиксе — единственное, что отличает Бабашина от более массовых Бабашовых (которые могли бы возникни от той же основы, но по твёрдому типу).

Встречается Бабашин в основном в южнорусских и поволжских областях — там, где слово «бабаш» фиксировали диалектологи. Встречается и украинский вариант Бабашенко, что подтверждает южное происхождение. Есть, правда, и другая, менее вероятная версия: что фамилия произошла от тюркского имени Бабаш (уменьшительное от «баба» — отец, дед). Но для русского уха такое объяснение вторично: в крестьянской среде прозвище по родству встречалось куда чаще, чем заимствованное имя.

Сословно Бабашины почти наверняка были крестьянами или однодворцами. Дворян с такой фамилией в родословных книгах нет — ни в «Бархатной книге», ни в списках Герольдии. Значит, если вы носите эту фамилию, ваши предки — обычные сельские жители, которых прозвали по тому, как сложилась их семейная жизнь.