Фамилия Бабашова — женская форма фамилии Бабашов, и её происхождение напрямую связано с мужским личным именем или прозвищем Бабаш. В русской ономастике эта фамилия не самая распространённая, но её корни уходят в народную лексику и могут иметь несколько объяснений.

Самая вероятная версия: основа Бабаш — это производная форма от имени Баба. В старину «бабой» называли не только женщину, но и отца, деда или старшего мужчину в семье (в южнославянских диалектах «баба» — отец). Имя Баба, а затем уменьшительное Бабаш, могло быть внутрисемейным прозвищем для уважаемого старшего родственника. Суффикс -ш- в данном случае характерен для русских народных форм имён (сравните: Павел — Павлуша, Иван — Иваш), и Бабаш — это ласкательное или обиходное обращение.

Вторая версия, менее распространённая, но тоже возможная: фамилия могла образоваться от прозвища Бабаш, данного человеку за сходство с «бабой» — в значении «женоподобный», «нерешительный» или «изнеженный». Однако такие прозвища обычно давали с иронией, и в крестьянской среде они не были редкостью. В пользу первой версии говорит то, что фамилии на -ов/-ев чаще всего происходят от имён, а не от негативных прозвищ.

Что касается суффикса: Бабашов — типичная патронимическая модель, отвечающая на вопрос «чей сын?»: сын Бабаша. Суффикс -ов указывает на принадлежность, и такие фамилии массово закреплялись в XVI–XVII веках, когда крестьяне и служилые люди получали фамилии по имени отца.

Географически фамилия Бабашов встречается в южных регионах России, на Украине и в Белоруссии, а также среди казачества. В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» подобные образования от неканонических имён описаны как характерные для восточнославянской традиции. Если ваши предки носили фамилию Бабашов, вероятнее всего, они происходили из крестьянской или казачьей среды, а родоначальником был человек по имени или прозвищу Бабаш.