Фамилия Бабуркин — из числа тех, что хранят память о прозвище, а не о крестильном имени. Её основа — Бабурка, а корень уходит в слово «бабура», которое в разных говорах означало совсем не одно и то же. Поэтому точного, единственного значения у фамилии нет, и это нормально: она как лакмусовая бумажка местного говора и быта предков.

Если отталкиваться от самого частого значения, «бабура» — это бабушка. Тогда Бабуркой могли назвать ребёнка, которого воспитывала бабушка, сироту или того, кто был к ней особенно привязан. Но в диалектах слово живёт своей жизнью: «бабура» — это и мотылёк, и горький гриб, и кость для игры в бабки, и даже рыбка подкаменщик. Каждое из этих значений могло стать основой для прозвища. Любитель азартной игры в бабки, человек, похожий на юркую рыбку, или, скажем, грибник — всё могло закрепиться в прозвище.

Интересный поворот даёт тульский глагол «бабурить» — говорить, болтать. В этом случае Бабурка — говорун, балагур, тот, кто умеет увлечь разговором. Версия не самая очевидная, но лингвистически состоятельная: суффикс -к- в прозвищах часто указывал на носителя действия. Сравните: говори́ть — говорун, бабу́рить — бабурка.

Морфологически фамилия прозрачна: суффикс -ин указывает на принадлежность («чей?» — Бабуркин сын). Это типичная модель для русских фамилий, образованных от прозвищ или имён на -а/-я. В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые чаще давались по отцу (Иван — Иванов), суффикс -ин подчёркивал более тесную, почти семейную связь с прозвищем.

Географически фамилия Бабуркин встречается не повсеместно, а с явным тяготением к центральным и южнорусским областям — там, где слово «бабура» и глагол «бабурить» были в ходу. Встречаются Бабуркины в Тульской, Рязанской, Тамбовской губерниях, что косвенно подтверждает связь с местными говорами.

Так что за фамилией Бабуркин стоит не одна, а сразу несколько историй. И какая из них правдива для вашей семьи — можно только гадать, но именно эта многозначность и делает фамилию живой, а не застывшей в одном словарном определении.