Фамилия Бачинова — женская форма от Бачинов, и её разумнее всего разбирать через мужской вариант. Основа здесь — «Бачин», и ключевой вопрос: откуда взялось это слово? Самое прямое объяснение лежит в диалектной лексике. В русских говорах, особенно на Урале и в Сибири, «бача» или «бачить» означало «глядеть, смотреть, видеть». Отсюда «бачливый» — зоркий, внимательный. Прозвище Бача могли дать человеку с острым зрением, наблюдательному, или тому, кто работал дозорным, сторожевым. Фамилия образована по стандартной модели: прозвище Бача плюс притяжательный суффикс -ин (чей? — Бачин сын), а затем фамильный суффикс -ов, который в русской традиции часто добавляли к основам на -ин для приведения к единообразному типу склонения. То есть цепочка: Бача → Бачин → Бачинов.

Есть, однако, и вторая версия, более редкая и локальная, но её стоит упомянуть из-за необычного корня. В некоторых южнорусских и украинских говорах «бачити» — это «видеть», и там же «бач» может быть краткой формой от имени Бачей, которое в свою очередь восходит к тюркскому «бай» (богатый, господин) с уменьшительным суффиксом. В таком случае фамилия Бачинов могла возникнуть на пограничных территориях, где смешивались славянские и тюркские антропонимы. Но эта версия менее вероятна, потому что суффикс -ин при тюркской основе встречается реже, чем при славянском прозвище.

Географически фамилия не массовая. Найти её можно в Поволжье и на Урале — в регионах, где диалектное слово «бача» было в ходу. Встречается и в списках переселенцев в Сибирь, что косвенно подтверждает связь с говорами. Сословного барьера у фамилии нет: прозвищное происхождение характерно и для крестьян, и для мещан, и для казаков. В документах XVII-XVIII веков можно встретить записи вроде «Васька Бачинов, стрелец» или «Ивашка Бача, крестьянин» — это разный социальный статус, но одна словообразовательная логика.

Если у вас фамилия Бачинова, ваши предки с высокой вероятностью носили прозвище, связанное со зрением или внимательностью. Никакой связи с бачком (ёмкостью) или бачей (сленговое «отец») здесь нет — это случайные созвучия, не имеющие отношения к русской ономастике.