Фамилия Бадгаев — редкий случай, когда географическая привязка говорит больше, чем разбор корня. Она почти наверняка ведёт на Кавказ, а точнее — в Осетию. Фамилии с таким финалом на «-ев» при тюркской или иранской основе — типичная осетинская модель, где русский патронимический суффикс наложился на местное имя или прозвище.

Корень «Бадг-» или «Бадга» — скорее всего, личное имя. В осетинском языке есть имя Бадзи (Бадти), восходящее к древнеиранскому «бахта» — «счастье, удача», но возможна и другая версия: «бадг» могло означать «сильный» или «могучий» в диалектах, близких к курдским или талышским. В любом случае, перед нами не прозвище по ремеслу или внешности, а именная фамилия: предка звали Бадга (или Бадги), а его потомков — Бадгаевы, то есть «дети Бадги».

Интересная деталь: суффикс «-ев» вместо более привычного для осетинских фамилий «-ты» (как в Царикаевы, Дзараевы) — результат русификации в XIX–XX веках. В документах и переписях осетинские фамилии часто записывали на русский манер, добавляя окончание «-ов/-ев». Поэтому в Осетии вы встретите и Бадгаты, и Бадгаевых — это варианты одной фамилии, разошедшиеся из-за бюрократии.

Встречается фамилия и у ингушей, где корень «бадг» мог означать «ястреб» или «сокол» (от вайнахского «баьд» — птица). Но для осетинского варианта более правдоподобна связь с именем. Если ваш предок — Бадгаев, скорее всего, он из горных районов Северной Осетии (Алагирское или Дигорское ущелье), где такие фамилии фиксировались с середины XIX века.